soal cerita dan penyelesaiannya yang terkait dengan persamaan garis singgung pada kurva dan garis normal

Nama : Reinaldi Akmal (30)

Kelas : XI IPS 2

MATEMATIKA

soal cerita dan penyelesaiannya yang terkait dengan persamaan garis singgung pada kurva dan garis normal

 

Persamaan Garis Singgung Kurva dan Persamaan Garis Normal di suatu Titik pada Kurva

---

Garis Singgung

Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. 

 

Garis Normal

 

Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus dengan garis singgung.

Garis Singgung & Garis Normal

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x₁,y₁) maka persamaan garis singgungnya adalah

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x₁,y₁)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) yang disinggung oleh sebuah garis di titik (x₁,y₁), maka gradien garis singgung tersebut adalah m = f'(x1). Sementara itu x₁ dan y₁ memiliki hubungan y₁ = f(x₁). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1). 

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva

Soal No.1

---

Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan

Titik singgung dititik (2, 8), maka x₁ = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12

Soal No.2

---

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x² + 2x di titik (1,3)

Pembahasan

f(x) = x2 + 2x
f'(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Soal No.3

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x - 3x² di titik dengan absis 2

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x - 3x²
y = 2(2) − 3(2)²
y = −8
Jadi titik singgung : (2, −8)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x²
f '(x) = 2 − 6x
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Soal No.4

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x³ - 4x² di titik berabsis 2

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x³ - 4x²
y = 2(2)³ − 4(2)²
y = 16 - 16
y = 0
Jadi titik singgung : (2, 0)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x³ - 4x²
f '(x) = 6x² - 8x
m = f '(2) = 6(2)² − 8(2)
m = 24 - 16
m = 8

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 0 = 8(x − 2)
y = 8x - 16

Soal No.5

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x² di titik berabsis -2

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x = -2:

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2
y = x²
y = (-2)²
y = 4
Jadi titik singgung : (-2, 4)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x²
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 4 = -4(x − (-2))
y - 4 = -4x - 8
y = -4x - 4

Soal No.6

---

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x² sejajar dengan garis 4x + y = 3

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 + 2x - x²
m₁ = f'(x) = -2x + 2
m₁ = -2x + 2

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4x + y = 3
y = -4x + 3
m₂ = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m₁ = m₂
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x²
y = 3 + 2(3) - 3²
y = 3 + 6 - 9
y = 0

Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12

Soal No.7

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Pembahasan

Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 18

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18
y = x³ + 10
18 = x³ + 10
x³ = 18 - 10
x³ = 8
x = 2
Jadi titik singgung : (2,18)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x³ + 10
f'(x) = 3x²
m = f'(2) = 3(2)²
m = 12

Jadi,Persamaan garis singgungnya adalah y – y₁ = m(x – x₁)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16

Soal No.8

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² - x + 3 di titik yang berordinat 5 ?

Pembahasan

Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 5

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5
y = x² - x + 3
5 = x² - x + 3
x² - x + 3 - 5 = 0
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)

Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x² - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(2) = 2(2) - 1
m = 3

Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x² - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(-1) = 2(-1) - 1
m = -3

Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung
Karena kita memiliki dua titik singgung, tentunya akan ada dua persamaan garis singgung

Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 5 = 3(x - 2)
y = 3x - 6 + 5
y = 3x - 1

Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 5 = -3(x - (-1))
y - 5 = -3x - 3
y = -3x + 2

Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2

Soal No.9

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² - 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya
f(x) = x² - 5x + 6
f'(x) = 2x - 5
m = f'(x)
3 = 2x - 5
2x = 3 + 5
x = 4

y = x² - 5x + 6
y = 4² - 5(4) + 6
y = 16 - 20 + 6
y = 2

Jadi titik singgung : (4,2)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 2 = 3(x - 4)
y - 2 = 3x - 12
y = 3x - 10

Soal No.10

---

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x³ - 3x² - 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x³ - 3x² - 5x + 10
f'(x) = 3x² - 6x - 5
m = f'(x)
4 = 3x² - 6x - 5
3x² - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2

Untuk x = 3
y = x³ - 3x² - 5x + 10
y = 3³ - 3(3)² - 5(3) + 10
y = 27 -27 - 15 + 10
y = -5
Titik singgung pertama (3,-5)

Untuk x = -2
y = x³ - 3x² - 5x + 10
y = (-2)³ - 3(-2)² - 5(-2) + 10
y = -8 - 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung kedua (-2,0)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Soal No.11

---

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x² yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ?

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 - x²
m₁ = f'(x) = -2x
m₁ = -2x

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4y = x + 1
y =

1 4

x +

1 4

m₂ =

1 4

(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m₁ . m₂ = -1
m₁ .

1 4

= -1
m₁ = -4

Masukkan nilai m₁ ke dalam persamaan langkah-1 :
m₁ = -2x
-4 = -2x
x = 2

Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x²
y = 3 - 2²
y = 3 - 4
y = -1
Jadi titik singgungnya : (2,-1)

Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung
y - y₁ = m(x - x₁)
y - (-1) = -4(x - 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7

Jadi persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7

Soal No.12

---

Persamaan garis menyinggung kurva y = x² - 3x - 4 di titik (4,0) adalah .....
a. y = 5x + 20
b. y = 5x - 20
c. y = -5x + 20
d. y = -5x - 20

Pembahasan

y = x² - 3x - 4
y' = 2x - 3
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5
m = 5

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 0 = 5 (x - 4)
y = 5x - 20

Jawab c:

Soal No.13

---

Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x - 8
2.) 4x - 2y + 6 = 0
3.) 3y = 6x - 1
4.) 7x - 14y + 2 = 0

Pembahasan

1.) Untuk Persamaan : y = 2x - 8

Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a
y = 2x - 8
m = 2

2.) Untuk Persamaan : 4x - 2y + 6 = 0

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b
4x - 2y + 6 = 0
m = -4 -2
m = -(-2)
m = 2

3.) Untuk Persamaan : 3y = 6x - 1

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b
3y = 6x - 1
6x - 3y - 1 = 0
m = -6 -3
m = -(-2)
m = 2

4.) Untuk Persamaan : 7x - 14y + 2 = 0

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b
7x - 14y + 2 = 0
m = -7 -14
m = -1 -2
m =1 2

 

Contoh Soal menentukan persamaan garis singgung dan garis normal

Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x² + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab :

x = 2 y = x⁴ - 7x² + 20 y = 2⁴ - 7.2² + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung

m = y' = 4x³ - 14 x = 4.2³ - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y - y₁ = m(x - x₁)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal

Garis normal bergardien melalui A(2,8)

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah

 

 

DAFTAR PUSTAKA

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu3.html

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html 

https://bfl-definisi.blogspot.com/2018/10/soal-persamaan-garis-singgung-kurva.html