PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Nama : Reinaldi Akmal (30)

Kelas : XI IPS 2

PENERAPAN TURUNAN: 

KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

---

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

Teorema 1 (Teorema kemonotonan)

Misalkan fungsi f kontinu pada interval I dan dapat diturunkan di setiap titik dalam dari I. 

1. Jika f ' (x) > 0 untuk setiap titik dalam x di I, maka f naik pada I. 
2. Jika f ' (x) < 0 untuk setiap titik dalam x di I, maka f turun pada I. 

Contoh 
Tentukanlah interval yang membuat fungsi f(x) = x 3 − 12x + 1 naik atau turun! 

Turunan fungsi f adalah f 0 (x) = 3 x 2 − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Fungsi f naik jika f ' (x) > 0, yaitu jika x berada di (−∞, −2) ∪ (2, ∞). Lebih lanjut, fungsi f turun jika f ' (x) < 0, yaitu jika x berada di (−2, 2). 

Kurva biru: grafik fungsi f. 

Kurva merah: grafik fungsi f ' . 

Definisi 2

Misalkan fungsi f dapat diturunkan pada interval buka I. 

Fungsi f dikatakan cekung ke atas (concave up) pada I, jika fungsi f ' naik pada I. 

Fungsi f  dikatakan cekung ke bawah (concave down) pada I, jika fungsi f ' turun pada I.

Teorema 2 (Teorema kecekungan (concavity theorem)) 

Misalkan fungsi f dapat diturunkan pada interval buka I. 

1 Jika f ''(x) > 0 untuk setiap x di I, maka f cekung ke atas pada I. 

2 Jika f ''(x) < 0 untuk setiap x di I, maka f cekung ke bawah pada I. 

Contoh  

Tentukanlah interval yang membuat fungsi f(x) = x 3 − 12x + 1 cekung ke atas atau cekung ke bawah!

 Turunan fungsi f adalah f ' (x) = 3 x 2 − 12. Turunan fungsi f ' adalah f ''(x) = 6 x. Fungsi f cekung ke atas jika f ''(x) > 0, yaitu: jika x berada di interval (0, ∞). Lebih lanjut, fungsi f cekung ke bawah jika f '' (x) < 0, yaitu jika x berada di interval (−∞, 0). 

Kurva biru: grafik fungsi f. 

Kurva merah: grafik fungsi f ' . 

Garis hijau: grafik fungsi f '' .

Misalkan fungsi f kontinu pada c. 

Titik (c, f(c)) disebut titik belok (inflection point) dari grafik fungsi f jika f cekung ke atas pada satu sisi dari x = c dan f cekung ke bawah pada sisi lainnya dari x = c. 

Calon (candidate) untuk titik belok dicari dengan f ''(c) = 0 atau f '' (c) tidak ada.

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

 

Uji Turunan Kedua

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

Teorema Uji Turunan Kedua

Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.

1. Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
2. Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).

Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.

CONTOH SOAL

1. Tentukan interval-interval 

$f\left(x\right)=x^3-6x^2-2x+1$

 cekung ke atas dan cekung ke bawah!
a. cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

b. cekung ke atas pada interval x > 4 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

c. cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 4.

d. cekung ke atas pada interval x > 4dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 6.

e. cekung ke atas pada interval x > 6 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Pembahasan 
f '(x) =  3x² − 12x

f ''(x) = 6x − 12

f(x) cekung ke atas ⇒ f ''(x) > 0
6x − 12 > 0
x > 2

f(x) cekung ke bawah ⇒ f ''(x) < 0
6x − 12 < 0
x < 2

Jadi f(x) cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Jawaban : A

2. Jika y = x⁴ - 1/x maka y'' = ...

A. 12x² - 2/x³
B. 12x² - 2/x²
C. 12x² - 2x³
D. 10x² - 2/x³
E. 2x² - 2/x³

^{Pembahasan : 
Tentukan turunan pertama:
y' = 4x3 - (- x(- 1 - 1) = 4x3 + x-2
Turunkan lagi turunan pertama
y'' = 4.3x2 + (-2 x(- 2 - 1) )  = 12x2 - 2x- 3 = 12x2 - 2/x3
Jawaban: A}

DAFTAR PUSTAKA

https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/

https://ocw.ui.ac.id/pluginfile.php/13759/mod_resource/content/2/bab3_aplikasi_turunan_32.pdf?forcedownload=1