LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

-
Nama : Reinaldi Akmal (30)
Kelas : XI IPS 2

LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA


LUAS DAERAH

Misalkan y = f

berharga positif pada daerah dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f

dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

luas1.png

Bila y = f

berharga negatif pada daerah maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan

pada daerah maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f dan y = g adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

luas4.png

luas6.png

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

 

y = x2 ………

y = x + 6 ………

Dari

dan

didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = 2

Luas daerah,

ISI BENDA PUTAR

Misalkan y = f

terdefinisi dan integrabel pada daerah , bila daerah yang dibatasi oleh y = f

dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

luas7.png

Contoh 1:

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

luas8.png

Contoh 2 :

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

Sehingga :

A. Luas Daerah yang Dibatasi Kurva

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi suatu kurva dengan sumbu x dapat kita gunakan konsep integral tentu

Perhatikan Ilustrasi berikut

268

\begin{array}{|c|c|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Luas Daerah}}\\\hline \textrm{Di Atas Sumbu X}&\textrm{Di Bawah Sumbu X}\\\hline &-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx\\ \displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: \: dx&atau\\ &\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\: \: dx\\\hline \end{array}.

Misalkan kita diberikan gambar berikut,

269

maka luas  A_{1}\: \textrm{dan}\: A_{2}  adalah:

L_{\displaystyle A_{1}\: \textrm{dan}\: \displaystyle A_{2}}=\displaystyle \int_{b}^{c}f(x)\: dx-\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\: dx.

B. Volume Benda Putar

\boxed{V=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( f(x) \right )^{2}\: \: dx=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx}.

Perhatikanlah ilustrasi jika suatu bidang datar dirotasikan terhadap sumbu Y

270


CONTOH SOAL

\begin{array}{lp{16.0cm}}\\ \fbox{1}.&\textrm{Tentukanlah luas daerah bidang berikut dan tentukan pula volumenya seandainya bidang yang diarsir tersebut diputar terhadap sumbu X} \end{array}\\.
271
Jawab:
\begin{array}{lll}\\ \begin{aligned}L_{\textrm{Arsiran}}&=\displaystyle \int_{1}^{3}2x\: dx\\ &=\displaystyle \left [ x^{2} \right ]_{1}^{3}\\ &=\left ( 3 \right )^{2}-\left ( 1 \right )^{2}\\ &=9-1\\ &=8\quad \textbf{satuan luas}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\textbf{dan}&\begin{aligned}V_{\textrm{Benda putar}}&=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( y \right )^{2}\: dx=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}\left ( 2x \right )^{2}\: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{1}^{3}4x^{2}\: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{4x^{3}}{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 3^{3}}{3} \right )-\pi \left ( \displaystyle \frac{4\times 1^{3}}{3} \right )\\ &=36\pi -\displaystyle \frac{4}{3}\pi \\ &=34\displaystyle \frac{2}{3}\pi \quad \textbf{satuan volum} \end{aligned} \end{array}
.
\begin{array}{ll}\\ \fbox{2}.&\textrm{Jika}\: f(x)=\left ( x-2 \right )^{2}-4\: \: \textrm{dan}\: \: g(x)=-f(x),\: \textrm{maka luas daerah yang di batasi kurva \textit{f} dan \textit{g} adalah ....\textbf{(UAN 2003)}} \end{array}\\ \begin{array}{lll}\\\\ .\quad&a.&10\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &b.&21\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &c.&22\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &d.&42\displaystyle \frac{2}{3}\: \: \textrm{satuan luas}\\\\ &e.&45\displaystyle \frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{array}.
Jawab:
Perhatikan Ilustrasi berikut
274

 \begin{aligned}\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( g(x)-f(x) \right )\: \: dx&=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 4x-x^{2} \right )-\left ( x^{2}-4x \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \int_{0}^{4}\left ( 8x-2x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \left [4x^{2}-\frac{2}{3}x^{3} \right ]_{0}^{4}\\ &=\displaystyle \left ( 4.4^{2}-\frac{2}{3}.4^{3} \right )-\left ( 4.0^{2}-\frac{2}{3}.0^{3} \right )\\ &=\displaystyle \left ( 64-\frac{2}{3}.64 \right )-0\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}=21\frac{1}{3}\: \: \textrm{satuan luas} \end{aligned}.

Kita juga dapat menggunakan rumus   \displaystyle L=\frac{\displaystyle D\sqrt{D}}{\displaystyle 6a^{2}}.
\begin{array}{|l|}\hline \begin{aligned}f(x)&=g(x)\\ f(x)&=-f(x), &\textnormal{ingat g(x)\: =\: -f(x)}\\ 2f(x)&=0, &\textnormal{tidak boleh disederhanakan, }\\ 2\times \left (\left ( x-2 \right )^{2}-4 \right )&=0, &\textnormal{karena akan mempengaruhi hasil akhir}\\ 2\times \left ( x^{2}-4x \right )&=0\\ 2x^{2}-8x&=0,\quad \begin{cases} a=2,\: b=-8 & c=0 \\ D=b^{2}-4ac, & D=\left ( -8 \right )^{2}-4(2)(0)=64 \end{cases}\\ &\\ L_{\: \textbf{daerah}}&=\displaystyle \frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{6\textbf{a}^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\sqrt{64}}{6(2)^{2}}\\ &=\displaystyle \frac{64\times 8}{6\times 4}\\ &=\displaystyle \frac{64}{3}\\ &=21\displaystyle \frac{1}{3} \end{aligned}\\\hline\end{array}
.
\begin{array}{ll}\\ \fbox{3}.&\textrm{Diketahui parabola}\: \: f_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}\: \: \textrm{dan}\: \: f_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}.\\ &\textrm{Titik potong kedua para bola tersebut dapat cari dengan}\\ &\\ &f_{1}(x)=f_{2}(x)\: \: \Leftrightarrow \: \: a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}\\ &\: \, \, \qquad\qquad\qquad \Leftrightarrow \: ax^{2}+bx+c=0.\\ &\\ &\textrm{Jika kedua parabola berpotongan di dua titik, tunjukkan bahwa luas daerah antara} \\ &\textrm{kedua parabola tersebut dapat dinyatakan dengan}\: \: \: \displaystyle \textbf{L}=\frac{\textbf{D}\sqrt{\textbf{D}}}{\textbf{6a}^{\textbf{2}}} \\\end{array}.
Bukti:
ax^{2}+bx+c=0\: \begin{cases} &x_{1}=\displaystyle \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & \\ &x_{2}=\displaystyle \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{cases}\\ \begin{aligned}L&=\displaystyle \int_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\: \left ( ax^{2}+bx+c \right )\: \: dx=\left [ \displaystyle \frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx \right ]_{\frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}^{\frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}\\ &=\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &\quad -\left [ \displaystyle \frac{a}{3}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{3}+\displaystyle \frac{b}{2}\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right )^{2}+c\left ( \frac{-b- \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{a}{24a^{3}}\left [ \left ( \sqrt{D}^{3}-3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}-b^{3} \right )+\left ( \sqrt{D}^{3}+3\sqrt{D}^{2}b+3\sqrt{D}b^{2}+b^{3} \right ) \right ]\\ &\quad +\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right )-\left ( b^{2}+2b\sqrt{D}+\sqrt{D}^{2} \right ) \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ \left ( -b+\sqrt{D} \right )-\left ( -b-\sqrt{D} \right ) \right ]\\ &=\displaystyle \frac{1}{24a^{2}}\left [ 2\sqrt{D}^{3}+6\sqrt{D}b^{2} \right ]+\displaystyle \frac{b}{8a^{2}}\left [ -4b\sqrt{D} \right ]+\displaystyle \frac{c}{2a}\left [ 2\sqrt{D} \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}^{3}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{12a^{2}}+\frac{b^{2}\sqrt{D}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}\sqrt{D}}{2a^{2}}+\frac{c\sqrt{D}}{a}\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ D+3b^{2}-6b^{2}+12ac \right ]\\ \end{aligned}

\begin{aligned}&=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ \left ( b^{2}-4ac \right )-3b^{2}+12ac \right ]\\ &=\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{12a^{2}}\left [ -2b^{2}+8ac \right ]=-\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ b^{2}-4ac \right ]=-\frac{\sqrt{D}}{6a^{2}}\left [ D \right ]\\ &=-\frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}},\quad \textbf{luas tidak mungkin negatif}\\ L&=\displaystyle \frac{D\sqrt{D}}{6a^{2}}\quad \blacksquare \end{aligned}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{4}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y^{2}=x\: \: \textrm{dan}\: \: y=x\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}.
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut ini
275.
\begin{array}{|r|l|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Langkah-langkah}}\\\hline \textrm{Pertama (Mencari Batas)}&\textrm{Kedua (Menentukan Volumenya)}&\textrm{Keterangan}\\\hline \begin{aligned}y&=y\\ x^{2}&=x\\ x^{2}-x&=0\\ x\left ( x-1 \right )&=0\\ x=0\: \: \textrm{atau}\: \: x&=1\\ &\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}V&=\pi \displaystyle \int_{a}^{b}\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \displaystyle \int_{0}^{1}\left ( x-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]_{0}^{1}\\ &=\pi \left [ \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right ]\\ V&=\displaystyle \frac{1}{6}\pi \end{aligned}&\begin{aligned}&\textnormal{Perhatikan bahwa;}\\ &y^{2}=x\Rightarrow y=\sqrt{x},\: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{1}\\ &\textnormal{Sehingga}\: y_{1}-\textrm{nya adalah}\: \: \sqrt{x}\\ &\textnormal{dan}\: \: y=x\: \: \textrm{dianggap sebagai}\: \: y_{2}\\ &\left ( y_{1}^{2}-y_{2}^{2} \right )=\left ( \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )=x-x^{2}\end{aligned} \\\hline \multicolumn{2}{|l|}{\textrm{Jadi, volume dari benda putar tersebut dalam satuan volum adalah}\: \: \displaystyle \frac{1}{6}\pi }&\\\hline \end{array}
.
\begin{array}{ll}\\ \fbox{5}.&\textrm{Tentukan volume benda putar yang terbentuk, jika suatu daerah yang dibatasi oleh kurva }\\ &y=2x\: ,\: y=x,\: x=1,\: \textrm{dan}\: \: x=3\: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}.
Jawab:
Perhatikanlah ilustrasi gambar berikut
276
\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=1\: \: \textrm{dan}\: \: x=3&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}\left ( f^{2}(x)-g^{2}(x) \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}\left ( \left ( 2x \right )^{2}-\left ( x \right )^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{1}^{3}3x^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ x^{3} \right ]_{1}^{3}\\ &=\displaystyle \pi \left ( 3^{3} \right )-\pi \left ( 1^{3} \right )\\ &=27\pi -1\pi \\ V&=26\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}.

\begin{array}{ll}\\ \fbox{6}.&\textrm{Tentukan volume daerah yang dibatasi oleh lingkaran }\\ &x^{2}+y^{2}=4\: ,\: \textrm{selang}\: -2\leq x\leq 2\: \textrm{dan}\: \: \textrm{diputar mengelilingi sumbu X} \\\end{array}.
Jawab:
277
\begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textrm{Langkah-Langkah}}\\\hline \textrm{Batas}&\textrm{Menentukan Volumenya}\\\hline x=-2\: \: \textrm{sampai}\: \: x=2&\begin{aligned}V&=\displaystyle \pi \int_{a}^{b}y^{2}\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \int_{-2}^{2}\left ( 4-x^{2} \right )\: \: dx\\ &=\displaystyle \pi \left [ 4x-\displaystyle \frac{x^{3}}{3} \right ]_{-2}^{2} \\ &=\displaystyle \pi \left ( 8-\displaystyle \frac{8}{3} \right )-\pi \left ( -8+\displaystyle \frac{8}{3} \right )\\ &=\displaystyle \pi \left ( 8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3} \right )\\ V&=\displaystyle \frac{32}{3}\pi\: \textbf{Satuan Volum} \end{aligned}\\\hline \end{array}

DAFTAR PUSTAKA

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

-
Gambar
Nama : Reinaldi Akmal (30) Kelas : XI IPS 2 PENERAPAN TURUNAN:  KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA Kecekungan Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah . Definisi Kecekungan Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut. Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I . Jika grafik f cekung ke atas pada I , maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah). Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I . Jika grafik ...
Baca selengkapnya

REMEDIAL PHB SOAL INVERS REINALDI AKMAL (31) X IPS 2

-
Gambar
REMEDIAL PHB SOAL INVERS NAMA : REINALDI AKMAL (31) KELAS : X IPS 2 Contoh Soal dari Fungsi Invers Untuk lebih memahami hal-hal berikut, perhatikan contoh masalah: 1.  Jika f (x) = 2x – 6, maka f-1 (x) = … A . 1/2 x – 3 B . 1/2 x + 3 C . -1 / 2x – 3 D . -1 / 2x + 3 E . x – 12 Diskusi Untuk menentukan fungsi invers, Anda harus terlebih dahulu menentukan persamaan x. f (x) = 2x – 6 2x = f (x) + 6 x = f (x) + 6/2 (perubahan x ke f-1 (x) dan f (x) digantikan oleh x  f-1 (x) = (x + 6) / 2 = 1/2 x + 3 Jawab: B 2. Jika f (x) = 5 – 1 / 3x, maka f-1 (x) = … A . 3x + 15 B . 3x – 15 C . -3x + 15 D . -3x – 15 E . -3x + 5/3 Diskusi f (x) = 5-1 / 3x 1 / 3x = 5 – f (x) x = (5 – f (x)). 3 x = 15 – 3 f (x) f-1 (x) = -3x + 15 Jawab: C 3.  Jika f (x) = (x + 3) / (x – 2), f-1 (x) = … A . (2x + 3) / (x – 1) B . (x – 3) / (x + 2) C . (2x + 3) / (x +1) D . (-2x + 3) / (x + 1) E . (-x + 3) / (x – 2) Diskusi: Langkah 1: Biarkan f (x) = y y. = (x + 3) atau (x – 2) y (x – 2) = x + 3 yx – 2y = x + 3...
Baca selengkapnya