SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Nama : Reinaldi Akmal (30)

Kelas : XI IPS 2 

soal pilihan ganda dan pembahasannya yang berkaitan dengan turunan dalam kehidupan sehari-hari (kontekstual)

1. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x³ + 2x² − 5x di titik (1, −2) adalah….
A. y = 2x
B. y = 2x − 3
C. y = 2x − 4
D. y = 2x + 3
E. y = 2x + 4

Pembahasan
Tentukan dulu gradien garis singgung
y = x³ + 2x² − 5x
m = y ‘ = 3x² + 4x − 5

Nilai m diperoleh dengan memasukkan x = 1
m = 3(1)² + 4(1) − 5 = 2

Persamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2) adalah
y − y₁ = m(x − x₁)
y − (−2) = 2(x − 1)
y + 2 = 2x − 2
y = 2x − 4 Jawaban (C)

2. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

 Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu….
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari

Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x

Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

Jawaban (B)

3. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah…
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160

Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x²), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x²)
U (x) = 225 x² − x³

Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ‘ (x) = 0
450 x − 3x² = 0

Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150

Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.

Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum. Jawaban(D)

4. Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari p = m² + n² adalah….
A. 320
B. 295
C. 280
D. 260
E. 200

Pembahasan
Nilai minimum tercapai saat p’ = 0
Jawaban (A)

5. Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat buah persegi di setiap pojok karton, seperti gambar berikut.
Volume kotak terbesar adalah…
A. 256 cm³
B. 392 cm³
C. 432 cm³
D. 512 cm³
E. 588 cm³

 

Pembahasan
Kotak yang terbentuk memiliki sisi alas sepanjang (18 − 2x) dan tingginya sebesar x seperti gambar berikut:

Syarat yang diperlukan untuk nilai x adalah x > 0
dan
18 − 2x > 0
18 > 2x
x < 9

Jadi nilai x nantinya diantara 0 dan 9

Volume akan maksimum saat turunan pertamanya sama dengan nol.

Yang memenuhi syarat adalah untuk x = 3
Jawaban (C)

6. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam $\left(4x-800+\frac{120}{x}\right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A.  40 jam
B.  60 jam
C.  100 jam
D.  120 jam
E.  150 jam

Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + $\frac{120}{x}$
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + $\frac{120}{x}$  ) x
B(x) = 4x² − 800x + 120

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.

Jawaban : C

7. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus $x=f\left(t\right)=\sqrt{3t+1}$

 (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel pada saat t = 8 detik adalah...

A.  $\frac{3}{10}$

 m/detik

B.  $\frac{3}{5}$

 m/detik

C.  $\frac{3}{2}$

 m/detik

D.  3 m/detik

E.  5 m/detik

Pembahasan :
f(t) = $\sqrt{3t+1}$

⇒ f '(t) = $\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}$

v(t) = $\frac{df}{dt}$

v(t) = f '(t) = $\frac{3}{2\sqrt{3t+1}}$

v(8) = $\frac{3}{2\sqrt{3.8+1}}$

v(8) = $\frac{3}{10}$

Jadi, kecepatan partikel pada t = 8 adalah $\frac{3}{10}$

 m/detik

Jawaban : A

8. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi $h\left(t\right)=100+40t-4t^2$

. Tinggi masksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah...
A.  160 m
B.  200 m
C.  340 m
D.  400 m
E.  800 m

Pembahasan :
h(t) = 100 + 40t − 4t²
⇒ h'(t) = 40 − 8t

Tinggi peluru akan maksimum, jika :
h'(t) = 0
40 − 8t = 0
⇒ t = 5

Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada saat t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah
h(5) = 100 + 40(5) − 4(5)²
h(5) = 100 + 200 − 100
h(5) = 200

Jawaban : B

9. Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah 150 cm². Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang alas balok adalah...
A.  3 cm
B.  5 cm
C.  6 cm
D.  15 cm
E.  25 cm

Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi maka p = l

L = 150
2(pl + pt + lt) = 150
pl + pt + lt = 75

p² + pt + pt = 75  (p = l)

2pt = 75 − p²

t = $\frac{75-p^2}{2p}$

V = p. l. t
V = p²t  (p = l)

V = p²$\left(\frac{75-p^2}{2p}\right)$

 V   = $\frac{75}{2}$

p − $\frac{1}{2}$

p³

Volume akan maksimum, jika :
V' = 0

$\frac{75}{2}$

 − $\frac{3}{2}$

p² = 0
75 − 3p² = 0
⇒ p = 5

Jadi, volume akan maksimum jika panjang balok 5 cm.

Jawaban : B

10. Jumlah bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum xy adalah...
A.  100
B.  81
C.  80
D.  70
E.  72

Pembahasan :
x + y = 18
y = 18 − x

Misalkan :
L = xy
L = x (18 − x)
L = 18x − x²

L akan maksimum jika :
L' = 0
18 − 2x = 0
⇒ x = 9

x + y = 18
9 + y = 18
⇒ y = 9

Jadi, nilai maksimum xy = 9 . 9 = 81

Jawaban : B

 

DAFTAR PUSTAKA 

https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/124-aplikasi-turunan