soal kontekstual (kehidupan sehari-hari) yang berhubungan dengan Limit dan Soal menentukan nilai limit fungsi aljabar
Soal kontekstual (kehidupan sehari-hari) yang berhubungan dengan Limit dan Soal menentukan nilai limit fungsi aljabar
Nama : Reinaldi Akmal (30)
Kelas : XI IPS 2
Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar
Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g merupakan suatu fungsi yang memiliki limit di c, maka beberapa sifat di bawah ini akan berlaku.
Macam-macam Metode Penyelesaian Limit Aljabar
Ada beberapa metode atau cara penyelesaian untuk limit aljabar, diantaranya yaitu:
- Metode subitusi
- Metode pemfaktoran
- Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut
- Metode mengalikan dengan faktor sekawan
SOAL-SOAL
Soal No.1Carilah nilai limit berikut :
a.
lim 4
x→3
b.
lim 3x
x→3
c.
lim
x→2
3x
2
d.
lim 3x2 + 5
x→3
e.
lim
x→2
2x2 + 4
2x + 2
Pembahasan
a.
lim 4 = 4
x→3
b.
lim 3x = 3.(3) = 9
x→3
c.
lim
x→2
3x
2
=
3.(2)
2
= 3
d.
lim 3x2 + 5 = 3.(3)2 + 5 = 32
x→3
e.
lim
x→2
2x2 + 4
2x + 2
=
2.(22) + 4
2.(2) + 2
=
12
6
= 2
Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
lim
x→2
x2 - 4
x - 2
Pembahasan
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat
dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus
difaktorkan terlebih dahulu
Jadi hasil faktornya adalah :
(x-2)(x+2)
(x-2)
= (x+2)= (2+2) = 4
lim
x→2
x2 - 4
x - 2
=
22 - 4
2 - 2
=
0
0
(bentuk tak tentu)
Jadi hasil faktornya adalah :
lim
x→2
x2 - 4
x - 2
=
Soal No.3
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim
x→3
x2 - 9
√
x2 + 7 - 4
Pembahasan
Dengan substitusi langsung
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
lim
x→3
(x2 - 9)
√
x2 + 7 - 4
=
(32 - 9)
√
32 + 7 - 4
=
0
0
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
lim
x→3
(x2 - 9)
√
x2 + 7 - 4
x
√x2 + 7 + 4
√
x2 + 7 + 4
⇔
lim
x→3
(x2 - 9).(√
x2 + 7 + 4)
(x2 + 7) - 16
⇔
(x2 - 9).(√
x2 + 7 + 4)
(x2 - 9)
lim
x→3
⇔
lim
x→3
(√x2 + 7 + 4)
= (√32 + 7 + 4) = 8
Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:
lim
x→2
x2 - 5x + 6
x2 - 4
Pembahasan
Jika disubstitusi langsung, maka akan didapatkan :
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
lim
x→2
x2 - 5x + 6
x2 - 4
=
22 - 5.(2) + 6
22 - 4
=
0
0
(bentuk tidak tentu)
Dengan demikian kita harus menggunakan cara lain, yaitu : dengan mengfaktorkan dan melakukan turunan. Dalam soal no.4 ini kita lakukan dengan turunan :
lim
x→2
x2 - 5x + 6
x2 - 4
=
2x - 5
2x
=
2.(2) - 5
2.(2)
= -
1
4
Soal No.5
Tentukan nilai limit dari :
lim
x→∞
4x - 1
2x + 1
Pembahasan
Perhatikan pangkat tertinggi dari x pada
f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.
lim
x→∞
4x - 1
2x + 1
⇔
lim
x→∞
4x
x
-
1
x
2x
x
+
1
x
⇔
lim
x→∞
4
-
1
x
2
+
1
x
=
4
-
1
∞
2
+
1
∞
=
4 - 0
2 - 0
= 2
Soal No.6
Tentukan nilai limit dari :
lim
x→∞
4x + 1
x2 - 2
Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 - 2. Sehingga :
lim
x→∞
4x + 1
x2 - 2
⇔
lim
x→∞
4x
x2
+
1
x2
x2
x2
-
2
x2
⇔
lim
x→∞
4
x
+
1
x2
1
-
2
x2
=
4
∞
+
1
(∞)2
1
-
2
(∞)2
=
0 + 0
1 - 0
= 0
Soal No.7
Carilah nilai limit dari :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
Pembahasan
Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2. Sehingga :
lim
x→∞
2x2 - 5
x2 - 3
⇔
lim
x→∞
2x2
x2
-
5
x2
x2
x2
-
3
x2
⇔
lim
x→∞
2
-
5
x2
1
-
3
x2
=
2
-
5
(∞)2
1
-
3
(∞)2
=
2 - 0
1 - 0
= 2
Soal No.8
Carilah limit dari :
lim
x→a
x4 - a4
x - a
Pembahasan
Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat
dilakukan dengan cara memasukkan nilai langsung, melainkan harus
difaktorkan terlebih dahulu
Jadi hasil faktornya adalah :
Sederhanakan lagi untuk : (x2 - a2), sehingga menjadi :
lim
x→a
x4 - a4
x - a
=
a4 - a4
a - a
=
0
0
(bentuk tak tentu)
Jadi hasil faktornya adalah :
⇔
lim
x→a
(x2 - a2)(x2 + a2)
x - a
Sederhanakan lagi untuk : (x2 - a2), sehingga menjadi :
⇔
(x - a)(x + a)(x2 + a2)
(x - a)
= (a + a)(a2 + a2) = 4a3
lim
x→a
Soal No.9
Hitunglah nilai limit dibawah ini :
lim
x→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2
Pembahasan
Dengan substitusi langsung :
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
(x - 2)
(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)
=
-2
(√2 + 2 + √3(2) - 2)
=
-2
(√4 + √4)
=
-1
2
lim
x→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2
=
√2 + 2 - √3(2) - 2
2 - 2
=
√4 - √4
0
=
0
0
Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan:
lim
x→2
√x + 2 - √3x - 2
x - 2
x
√x + 2 + √3x - 2
√x + 2 + √3x - 2
lim
x→2
(x + 2)(3x -2)
(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)
lim
x→2
-2x + 4
(x - 2)(√x + 2 + √3x - 2)
lim
x→2
-2
Contoh Soal
1.
Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada
suatu saat, lebah tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan
parabola. Setelah terbang selama 1 menit, lebah tersebut telah mencapai
ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1
menit. Pada menit berikutnya, lebah tersebut terbang menukik lurus ke
tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.
dengan a, b, c, m, n bilangan real. diperoleh data sebagai berikut:
- Misalkan posisi awal lebah pada saat hinggap di tanah adalah posisi pada waktu t = 0 dengan ketinggian 0, disebut titik awal O(0,0)
- Kemudian lebah terbang mencapai ketinggian maksimum 5 meter pada waktu t = 1 sampai t = 2, di titik A(1,5) dan B(2,5).
- Pada akhir waktu t = 2, lebah kembali terbang menukik sampai hinggap kembali di tanah dengan ketinggian 0, di titik C(3,0).
Berdasarkan data tersebut, kita akan menentukan fungsi lintasan lebah, dengan langkah-langkah berikut.
- Substitusi titik O(0,0) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh c = 0.
- Substitusi titik A(1,5) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh a + b + c = 5, karena c = 0, maka a + b = 5.
- Karena fungsi kuadrat mencapai maksimum pada saat t = 1 maka
atau 1 b = –2a.
- Dengan mensubstitusi b = –2a ke a + b = 5 maka diperoleh a = –5 dan b = 10.
- Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(t) = –5t 2 + 10t.
Lebah tersebut terbang konstan pada ketinggian 5 maka fungsi lintasan tersebut adalah f(t) = 5.
Substitusi titik B(2,5) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 5 = 2m + n.
8 Substitusi titik C(3,0) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 0 = 3m + n atau n = –3m.
- Dengan mensubstitusi n = –3m ke 5 = 2m + n maka diperoleh m = – 5 dan n = 15.
- Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = –5t + 15.
Selanjutnya limit fungsi pada saat t = 1 dan t = 2 dapat dicermati pada tabel berikut.
Dari
pengamatan pada tabel, dapat kita lihat bahwa y akan mendekati 5 pada
saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 2.
Perhatikan strategi lainnya. Mari perhatikan nilai fungsi pada t
mendekati 1 dari kiri dan kanan, sebagai berikut:
Untuk t mendekati 1
lim->1- -5t²+10t = 5(disubtitusikan)
lim->1+ 5 = 5 (karena sudah pasti)
Untuk t mendekati 2
lim->2- 5 = 5 (karena sudah pasti)
lim-2+ -5t+15 = 5 (disubtitusikan)
berarti dapat dinyatakan lim->2 + 5= lim->2- - 5t² + 10t
sehingga fungsi lintasan tawon mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2
2. 
Jawab:
3. Tentukan nilai dari limit berikut menggunakan teorema L’Hopital:
Jawabannya
yang diperoleh menggunakan teorema L’hopital sama dengan cara
substitusi langsung, namun perbedaanya adalah hasil yang diperoleh lebih
cepat.
Dalam penyelesaian, bentuk limit yang mengandung akar seperti di bawah ini:
Penyelesaian
bentuk limit akan menghasilkan suatu nilai yang tak tentu 0/0. Apabila
terdapat bentuk soal di atas, kita harus memodifikasinya menggunakan
konsep aturan L’Hopital sehingga hasil modifikasi fungsi akar tersebut
bentuknya akan menjadi seperti di bawah ini:
4. Diketahui:
5. Diketahui:
DAFTAR PUSTAKA
https://www.yuksinau.id/limit-fungsi-aljabar/
https://bfl-definisi.blogspot.com/2017/10/contoh-soal-limit-fungsi-aljabar-dan.html
https://passinggrade.co.id/limit-fungsi/#Contoh_limit_fungsi
https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/limit-fungsi-aljabar-matematika-kelas-11/amp/
Komentar
Posting Komentar