PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Nama : Reinaldi Akmal (30)

Kelas : XI IPS 2

MATEMATIKA

PENGERTIAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFATNYA BERSAMA CONTOH SOALNYA

 

PENGERTIAN TURUNAN

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

• 
• 
• 
• 

•  Ialah simbol untuk turunan pertama.
•  Ialah simbol untuk turunan kedua.
•  Ialah simbol untuk turunan ketiga.
• Simbol yang lainnya selain  dan  ialah  dan.

 

 SIFAT-SIFAT TURUNAN

 1. Jika $f(x)=c$ dimana $c$ adalah konstanta, maka turunannya adalah$f'(x)=0$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=13 &\rightarrow f'(x)=0\\ f(x)&=100 &\rightarrow f'(x)=0 \end{aligned}$

2. Jika $f(x)=cx$, maka turunannya adalah$f'(x)=c$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x &\rightarrow &f'(x)=2\\ f(x)&=13x &\rightarrow &f'(x)=13\\ f(x)&=100x &\rightarrow &f'(x)=100 \end{aligned}$

3. Jika $f(x)=x^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=nx^{n-1}$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=x^4 &\rightarrow &f'(x)=4x^3\\ f(x)&=x^3 &\rightarrow &f'(x)=3x^2\\ f(x)&=x^2 &\rightarrow &f'(x)=2x \end{aligned}$

4. Jika $f(x)=cx^n$maka turunannya adalah$f'(x)=cnx^{n-1}$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x^4 &\rightarrow &f'(x)=8x^3\\ f(x)&=13x^3 &\rightarrow &f'(x)=39x^2\\ f(x)&=100x^2 &\rightarrow &f'(x)=200x \end{aligned}$

5. Jika $f(x)=c\,u(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=c\,u'(x)$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=4\ln{x}&\rightarrow &f'(x)=4\frac{1}{x}\\ f(x)&=3\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=3\sin{x}\\ f(x)&=2\sin{x}&\rightarrow &f'(x)=-2\cos{x} \end{aligned}$

$$\underset{f^{\prime }(x)=-2\cos x}{\overset{1}{f^{\prime }(x)=3\sin x}}$$

6. Jika $f(x)=u(x)\pm v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)\pm v'(x)$

Contoh:$\begin{aligned} f(x)&=2x+x^2&\rightarrow &f'(x)=2+2x\\ f(x)&=x^4-x^3&\rightarrow &f'(x)=4x^3-3x^2\\ f(x)&=\sin{x}+\cos{x}&\rightarrow &f'(x)=\cos{x}-\sin{x} \end{aligned}$

7. Jika $f(x)=u(x)v(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Contoh:$f(x)=x^4x^3$Misalkan $u(x)=x^4$ dan $v(x)=x^3,$ maka $u'(x)=4x^3$ dan $v'(x)=3x^2,$ sehingga$\begin{aligned} f'(x)&=(4x^3)(x^3)+(x^4)(3x^2)\\ &=4x^6+3x^6\\ &=7x^6 \end{aligned}$

8. Jika $f(x)=\displaystyle\frac{u(x)}{v(x)}$

$u(x)$ maka turunannya adalah$f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

$$u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)$$

Contoh:$f(x)=\frac{x^4}{x^3}$$$x^4$$Misalkan $u(x)=x^4$ dan $v(x)=x^3,$ maka $u'(x)=4x^3$ dan $v'(x)=3x^2,$ sehingga$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)}{(x^3)^2}\\ &=\frac{4x^6-3x^6}{x^6}\\ &=1 \end{aligned}$$$\begin{array}{l}(4x^3)(x^3)-(x^4)(3x^2)\\ =\genfrac{}{}{0ex}{}{}{x^6}\end{array}$$$$\begin{array}{l}4x^6-3x^6\\ =1\end{array}$$

9. Jika $f(x)={u(x)}^n$ maka turunannya adalah$f'(x)=n(u(x))^{n-1}u'(x)$

Contoh:$f(x)=(2x+x^2)^4$Misalkan $u(x)=2x+x^2,$ sehingga $u'(x)=2+2x,$ maka$f'(x)=4\left(2x+x^2\right)^3(2+2x)$

 

CONTOH SOAL

Soal 1.

Tentukan turunan dari f(x) = (2x + 1)⁴

Jawab:

Misalnya:

u(x) = 2x + 1  ⇒  u'(x) = 2
n = 4
f ‘(x) = n[u(x)]^n-1 . u'(x)
f ‘(x) = 4(2x + 1)^4-1 . 2
f ‘(x) = 8(2x + 1)³ 

Soal 2.

Tentukan turunan dari y = (x² − 3x)⁷

Jawab :

y’ = 7(x² − 3x)^7-1 . (2x − 3)
y’ = (14x − 21) . (x² − 3x)⁶

Latihan Soal & Pembahasannnya

Soal 1.

Tentukanlah turunan fungsi dari f(x) = 2x(x4 – 5).

Jawab:

Misalkan jika u(x) = 2x dan v(x) = x4 – 5, maka:

u‘ (x) = 2 dan v‘ (x) maka = 4x3

Dengan begitu, akan didapatkan penjabaran serta hasilnya:

f ‘(x) = u ‘(x).v(x) + u(x).v ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

Soal 2. Soal Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi pertama dari yaitu …

Jawab:

Soal ini merupakan soal fungsi yang berbentuk y = auⁿ yang dapat dibahas dan diselesaikan dengan menggunakan rumus y’ = n . a . u^n-1. Maka:

Sehingga turunannya adalah:

Soal 3. Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari:

Jawab:

Untuk menyelesaikan perosalan di atas, kita bisa memanfaatkan rumus campuran yakni:

serta juga bisa menggunakan rumus y’ = n. u’ sin^n-1 u . cos u

Sehingga:

Soal 4.

Turunan dari f(x) = (x – 1)²(2x + 3) adalah…

Jawab:

Misalkan:

u = (x − 1)²  ⇒ u’ = 2x − 2

v= 2x + 3    ⇒ v’ = 2

f‘(x) = u’v + uv’

f‘(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2

f‘(x) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² − 2x + 1)

f‘(x) = 4x² + 2x − 6 + 2x² − 4x + 2

f‘(x) = 6x² − 2x − 4

f‘(x) = (x − 1)(6x + 4)  atau

f‘(x) = (2x − 2)(3x + 2)

Soal 5.

Apabila f(x) = x² – (1/x) + 1, maka f'(x) = . . . .

A. x – x²

B. x + x²

C. 2x – x^-2 + 1

D. 2x – x² – 1

E. 2x + x^-2

Jawab:

f(x)  = x² – (1/x) + 1

        = x² – x^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

        = 2x + x^-2

Jawabannya: E

 DAFTAR PUSTAKA

https://rumusbilangan.com/turunan-fungsi/

https://www.rumusstatistik.com/2018/07/sifat-sifat-turunan.html 

https://www.yuksinau.id/turunan-fungsi-aljabar/