LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

Nama : Reinaldi Akmal (30)

Kelas : XI IPS 2

LIMIT DAN KONSEP LIMIT FUNGSI ALJABAR

Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan sebuah konsep matematika dimana sesuatu dikatakan “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan tertentu. Limit dapat berupa sebuah fungsi yang kodomainnya “hampir” atau “mendekati” nilai suatu bilangan asli tertentu.

Limit Fungsi Aljabar

Dalam pengoperasian limit fungsi aljabar, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

Ada tiga metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar, yaitu:

1. Metode substitusi

Metode paling mudah dengan menentukan hasil suatu limit fungsi adalah dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x). Syarat metode ini adalah jika hasil substitusi tidak membentuk nilai “tak tentu”. Contoh:

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{9 - 4}{3 + 2} = 1$

2. Metode pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

∞, $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , 0 x∞, ∞ – ∞, 0⁰, ∞⁰, atau ∞^∞

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuknya tidak menjadi bentuk tak tentu, baru kemudian bisa disubstitusikan $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to 3}\frac{x^2 - 3x}{2x - 6} = \frac{x(x - 3)}{2(x - 3)} = \frac{3}{2}$

3. Metode perkalian dengan akar sekawan

Metode ini digunakan jika pada metode substitusi langsung menghasilkan nilai limit yang irasional. Fungsi dikalikan dengan akar sekawannya agar bentuk limit tersebut tidak irasional, sehingga bisa dilakukan kembali substitusi langsung nilai $x\to c$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to -1}\frac{x +1}{1 - \sqrt{x + 2}} x (\frac{1 + \sqrt{x +2}}{1 + \sqrt{x + 2}}) = \frac{(x + 1)(1 + \sqrt{x+ 2})}{1 - (x + 2)}$

$=\frac{(x + 1)(1+\sqrt{x+2})}{-x - 1} = \frac{(x+1)(1+\sqrt{x+2})}{-(x+1)} = -(1 + \sqrt{x + 2})$

$=-(1 + \sqrt{-(1) + 2}) = -(1 + 1) = -2$

Dalam pengoprasian limit fungsi aljabar, terkadang nilai x mendekati tak berhingga (∞), sehingga jika disubstitusikan fungsi menghasilkan nilai tak tentu. Dalam pengoperasian limitnya, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Jika n adalah bilangan bulat, k konstanta, fungsi f dan fungsi g adalah fungsi-fungsi memiliki nilai limit yang mendekati bilangan c, maka:

Ada dua metode dalam mengerjakan limit fungsi aljabar bentuk tak berhingga:

Membagi dengan pangkat tertinggi

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$ . Metode ini dapat dikerjakan dengan membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan variabel xⁿ berpangkat tertinggi yang ada dalam fungsi f(x) dan g(x). Setelahnya, baru dapat disubstitusi dengan $x\to \infty$ . Contoh:

$\lim \limits_{x\to \infty}\frac{4x-1}{x^2+2} = \frac{\frac{4x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2}} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$

Mengalikan bentuk sekawan

Metode ini digunakan pada limit fungsi bentuk $\lim \limits_{x\to \infty}f(x) - \lim \limits_{x\to \infty}g(x)$ . Metode ini dapat diselesaikan dengan perkalian bentuk sekawan:

$\frac{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x\to \infty}g(x)}{\lim \limits_{x\to \infty}f(x)+\lim \limits_{x \to \infty}g(x)}$

kemudian dilanjutkan pembagian dengan metode pertama yaitu membagi dengan pangkat tertinggi. Contoh:

$\lim \limits_{x\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x - 5 - \sqrt{x^2 -x -2}})$

$=\lim \limits_{n\to \infty}(\sqrt{x^2 + 4x -5 - \sqrt{x^2 - x - 2}})$ $x \frac{(\sqrt{x^2+4x-5 + \sqrt{x^2 - x - 2}})}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$

$= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{((x^2+4x-5) - (x^2-x-2))}{(\sqrt{x^2+4x-5} + \sqrt{x^2-x-2})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}frac{5x-3}{(\sqrt{x^2+4x-5})+\sqrt{x^2-x-2}}$

Kemudian pembilang dan penyebut dibagi x pangkat tertinggi yaitu x¹:

$\lim \limits_{n\to \infty}\frac{\frac{5x}{x}-\frac{3}{x}}{(\sqrt{\frac{x^2+4x-5}{x^2}}+\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2}})}$ $= \lim \limits_{n\to \infty}\frac{5-\frac{3}{x}}{(\sqrt{1+\frac{4}{x}-\frac{5}{x^2}}+ \sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}})}$

$= \frac{(-0}{(1+1)} = \frac{5}{2}$

Contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasan

Contoh Soal Limit 1

Tentukanlah nilai dari $\lim_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2-4} - \frac{1}{x-2})$ (UAN 2002)

Pembahasan 1 :

$\lim \limits_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2} - \frac{1}{x-2}) = \lim \limits_{x\to 2}(\frac{6-x}{x^2-4} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)})$ $= \lim \limits_{x\to 2}\frac{(6-x) - (x+2)}{(x-2)(x+2)}$

$=\lim \limits_{x\to 2}\frac{4-2x}{(x-2)(x+2)} = \lim \limits_{x\to 2}\frac{-2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$ $= \lim \limits_{x\to 2}\frac{-2}{(x+2)}$

$=-\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Contoh Soal Limit 2

Tentukanlah nilai dari $\lim \limits_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{4x+x^2} - \sqrt{2+x^2}}{3x})$ (UN 2009)

Pembahasan 2:

$\lim \limits_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{4x+x^2}-\sqrt{2+x^2}}{3x}) = \lim_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{\frac{4}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}-\sqrt{\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}}}{\frac{3x}{x}})$ $= \lim_{x\to \infty}(\frac{\sqrt{\frac{4}{x^2}+1}-\sqrt{\frac{2}{x^2}+1}}{3})$

$=(\frac{1-1}{3}) = \frac{0}{3} = 0$

Contoh Soal Limit 3

Tentukanlah nilai dari $\lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2+ \sin x \tan x}{1- \cos 2x})$ (SPMB 2002)

Pembahasan 3 :

$\lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2+ \sin x \tan x}{1- \cos 2x}) = \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2+ \sin x \tan x}{2sin^2x})$ $= \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2}{2 \sin^2x}+\frac{\sin x \tan x}{2sin^2x})$

$= \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2}{2sin^2x}+\frac{\sin x \tan x}{2 \sin^2x})$ $= \lim \limits_{x\to 0}(\frac{x^2}{2 \sin^2x}+\frac{\tan x}{2 \sin x})$

$=(\frac{1}{2(1^2)}+\frac{1}{2(1)}) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1$

Konsep Limit Fungsi Aljabar

Limit bisa diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak bisa dicapai. Pada bahasa matematika, keadaan ini biasa disebut limit. Kenapa harus ada limit? karnalimit menjelaskan suatu fungsi jika batas tertentu didekati.

Kenapa harus didekati? karena pada suatu fungsi biasanya tak terdefinisi pada suatu titik tertentu. Meskipun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu, Akan tetapi masih bisa dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu dengan limit.

Rumus Limit

Dalam dunia matematika, Limit biasa di tuiskan sebagai berikut

Keterangan :

Apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L
Pendekatan x ke a bisa dilihat dari dua sisi yaitu pada sisi kiri dan sisi kanan ataupun dengan kata lain x bisa mendekati dari arah kiri dan arah kanan hingga menghasilkan limit kiri serta limit kanan

Sifat Fungsi Limit Aljabar

Jika n adalah bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat yang berlaku yaitu:

Macam-Macam Metode Limit Aljabar

metode subitusi
metode pemfaktoran
metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut
metode mengalikan dengan faktor sekawan

1. Metode Subsitusi

Metode subsitusi hanya mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya

Contoh

Jadi nilai fungsi limit baljabar adalah

2. Metode Pemfaktoran

Metode pemfaktoran dipakai jika metode subsitusi yang menghasilkan nilai limit tidak terdefinisikan

Contoh :

Metode pemfaktoran dilakukan dengan menentukan faktor persekutuan antara pembilang dan penyebutnya.

Dengan kaitanya pada bentuk limit kedua ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut dan metode mengalikan dengan faktor sekawan

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut

Contoh 1 :

Tentukanlah nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal yaitu 2, jadi,

Maka, nilailimit fungsi aljabar tersebut adalah

Contoh 2 :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang dan penyebut dalam soal yaitu 3,
jadi,

Maka, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut yaitu

4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan

Contoh soal :

Tentukan nilai limit dari

Langkah pertama yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit adalah dengan mensubtitusikan x = c ke f(x), hingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu

Maka itu untuk menentukan nilai suatu limit wajib menggunakan metode lain. Jika diperhatikan, pada f (x) ada bentuk akar yaitu

hingga metode perkalian dengan akar sekawaran bisa dilakukan pada kasus seperti ini.

Bentuk

bisa difaktorkan jadi

Maka, nilai limit fungsi aljabar tersebut ialah -4

DAFTAR PUSTAKA

https://rumusrumus.com/limit-fungsi-aljabar/

https://www.studiobelajar.com/limit-fungsi/

Cari Blog Ini

Reinaldi Akmal (30) XI IPS 2 Pengalaman Belajar Matematika