Remedial PTS

Nama : Reinaldi Akmal (29)

Kelas : XI IPS 2

Remedial PTS Matematika

Question 1

1. Diketahui premisi 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.

                     premisi 2 : Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.

ditanya : kesimpulan yang sah dari kedua premis

Jawaban : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) = n² berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Pembahasan

1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) = n²

Langkah pertama  

Akan dibuktikan untuk n = 1 Benar

(2n – 1) = n²

2(1) – 1 = 1²

2 – 1 = 1

1 = 1 (benar)

Langkah kedua

Misal untuk n = k benar

1 + 3 + 5 +... + (2k – 1) = k²

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

1 + 3 + 5 + .... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

|__________________|  

                     k²                  + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

                                         k² + 2k + 2 – 1 = (k + 1)²

                                               k² + 2k + 1 = (k + 1)²

                                                     (k + 1)² = (k + 1)²

                                                          (Benar)

Jadi TERBUKTI bahwa 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n² berlaku untuk setiap n bilangan asli

 

3.

 

 

 

 

 

 

4. 

5.

6. 1) buktikan kebenaran untuk

(Benar)

2) asumsikan benar untuk

,

( menunjukkan bahwa merupakan kelipatan 9)

3) cek kebenaran untuk

akan terbukti benar jika habis dibagi 9

bisa buktikan itu dengan induksi lagi

buktikan bahwa habis dibagi 9

1) cek kebenaran untuk

(benar)

2) asumsikan benar untuk

3) cek kebenaran untuk

terbukti bahwa habis dibagi 9 benar

maka pernyataan awal tadi juga benar

 

7. Penjelasan dengan langkah-langkah:

n_>5={1,2,3,4,5}

2n-3<2n-2

=2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0(benar)

2(2) -3<2(2) -2

=1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2

=3<4(benar)

2(4) -3<2(4) -2

=5<6( benar)

2(5) -3<2(5) -2

=7<8( benar) 

 

8.  persamaan x+2y=4 kita kalikan dengan 2, maka menjadi
2x+4y = 8  -------> (persamaan 1)
2x-3y = -13 ------> (persamaan 2)
--------------- -  (dikurangi)
     7y = 21
y = 21/7
y = 3

nilai y = 3 kita masukkan kdlam salah satu persamaan di atas, misalkan pada
persamaan x+2y = 4,
x+2.3 = 4
x+6 = 4
x = 4-6
x = -2

jadi penyelesainnya adlh x= -2 dan y = 3

 

9. gula = x
beras = y
5x + 30y = 410.000 |*2
2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000
2x + 60y = 740.000 
_________________-

8x = 80.000
x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan
 2x + 60y = 740.000
2(10.000) + 60y = 740.000
20.000 + 60y = 740.000
60y = 720.000
y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000
maka 2kg gula dan 5kg beras
= 2(10.000) + 5(12.000)
= 20.000 + 60.000
= Rp 80.000

10.

11.

 Question 2

12.

13.  

 

 14.Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi x + y ≤ 5 , x ≥ 0 , y ≥ 0, dan x , y ∈ R.

Jawaban : 

Jadi, nilai maksimum dicapai pada titik (5,0) yaitu: 3 . 5 + 2 . 0 = 15.

 Question 3

 15. x + 3y < 84 ; x+y < 60 ; x > 0 ; y > 0

 16. Persedian Seorang Penjahiit terdiri atas kain polos 20 m dan kain bergaris 20 m, Bila dibuat model I membutuhkan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris. Bila dibuat Model II membutuhkan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris, Jika harga model I Rp.150.000,00 dan harga Model II Rp.100.000,00 , Penghasilan maksimum penjahit tersebut adalah Rp.1.400.000,00

Fungsi Linear

Pada soal diatas diselesaikan dengan fungsi linear, untuk menyelesaikan masalah dengan model matematika yang terdiri atas pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak kemungkinan penyelesaian. dan Dari semua hasil kemungkinan satu yang memberikan hasil yang optimal.

• Model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris.
• Model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris.
• Persediaan kain polos 20 m
• persediaan kain bergaris 20 m
• Harga jual model I Rp.150.000,00
• Harga jual model II Rp.100.000,00

• Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh  = ...

(1) Kita Buat Tabel Untuk memudahkan:

Model   ||    Polos  ||  Garis  ||  Harga

   I         ||       1       ||     3      ||  150.000

  II         ||       2      ||      1      ||  100.000

Stok      ||       20    ||      20   ||   maksimum

(2) Kita buat kalimat matematika dari Tabel diatas Dengan kain polos sebagai (x) dan kain bergaris sebagai (y) :

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(3) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

            ⇒       2y = 20

            ⇒          y = 20/2

            ⇒          y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

            ⇒ x  + 0  = 20

            ⇒         x  = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

             ⇒ 0   + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

            ⇒ 3x + 0 = 20

            ⇒ 3x        = 20

            ⇒   x        = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20  | x 1  |   x + 2y = 20

3x + y = 20  | x 2 | 6x + 2y = 40

                            ============  -

                             -5x          = -20

                                x           = 20/5

                                x           = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

       y = 20 - 12

       y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

(4) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

                      = 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

                      = 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

                        = 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

JADI PENGHASILAN MAKSIMUM YANG DAPAT DI PEROLEH ADALAH Rp.1.400.000,00

17.  Jika diketahui matriks  , , dan ,maka determinan dari matriks C adalah 57.

Pembahasan

Matriks adalah susunan beberapa bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.

Ordo matriks adalah ukuran dari suatu matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom dari suatu matriks. Misalkan matriks A mempunyai m baris dan n kolom, maka ordo matriks A adalah m x n.

Transpos matriks adalah mengubah baris matriks A menjadi kolom matriks sehingga matriks A dengan ordo m x n akan menjadi matriks transpos A' dengan ordo n x m.

Determinan matriks A dilambangkan dengan det A atau |A|.  Untuk menentukan determinan matriks dapat digunakan sebagai berikut.

1. Matriks berordo 2 x 2

  Jika matriks , maka

  det A = |A| =  

2.  Matriks berordo 3 x 3

    Jika matriks

    , maka

    determinan A dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus:

   

         = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ - a₁₃ a₂₂ a₃₁ - a₁₁ a₂₃ a₃₂ - a₁₂ a₂₁ a₃₃

Penyelesaian

diket:

       

ditanya:

det C...?

jawab:

- mencari transpos matrisk A

   ⇒

- mencari matriks C

 

     

     

- mencari det C

 det C = (3)(3) - (-6)(8)

          = 9 + 48

det C = 57

18. 

19. Jika matriks A =

tidak mempunyai invers, maka nilai x adalah 1. Matriks adalah kumpulan dari angka angka yang disusun dalam baris dan kolom. Operasi hitung perkalian matriks syaratnya adalah kolom matriks pertama harus sama dengan baris matriks kedua.  Matriks A berordo (m × n) bisa dikalikan dengan matriks B berordo (n × p) maka hasil perkaliannya adalah matris C yang berordo (m × p). Suatu matriks memiliki invers jika determinan matriksnya tidak sama dengan nol. Rumus invers matriks adalah:

• A⁻¹ = × Adjoin A

Misal A = , maka

• Determinan A = |A| = ad – bc
• Invers matriks A = A⁻¹ =

Pembahasan

Diketahui

A =

Matriks A tidak mempunyai invers

Ditanyakan  

x = .... ?

Jawab

Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol

Jadi

|A| = 0

(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0

10x + 5 – 18x + 3 = 0

8 – 8x = 0

8 = 8x

x =

x = 1

20. 

 Question 4

21. 1,7 atau 0,6

22.

1. Agar lebih mudah dalam membuat matriks produksi, pertama kita akan membuat tabel produksi untuk masing-masing pabrik sebagai berikut.
   
   Sehingga, kita mendapatkan matriks-matriks produksi S dan M sebagai berikut.
   
2. Dari matriks yang diperoleh dari poin 1, kita dapat menghitung banyaknya pakaian yang telah diproduksi oleh pabrik di Surabaya. Banyaknya kaos yang telah diproduksi adalah 7.820, sedangkan banyaknya jaket yang sudah diproduksi adalah 4.120. Selanjutnya, banyaknya kaos yang diproduksi oleh pabrik di Malang adalah 8.820, sedangkan banyaknya jaket yang telah diproduksi adalah 7.020.
3. Diketahui perkiraan peningkatan produksinya adalah 4% = 0,04. Artinya, jika n adalah banyaknya produksi pakaian tahun kemarin, maka banyaknya produksi pada tahun ini adalah n + 0,04n = 1,04n. Sehingga, matriks produksi pada tahun depan dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian skalar sebagai berikut.
   
   Sehingga dari matriks di atas kita mendapatkan perkiraan banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth di pabrik Surabaya ataupun Malang. Pabrik di Surabaya akan memproduksi kaos kurang lebih 3.973 kualitas standard, 2.558 kualitas deluxe, dan 1.602 kualitas premium serta memproduksi jaket sebanyak 2.038 kualitas standard, 1.290 kualitas deluxe, dan 956,8 kualitas premium. Sedangkan pada, pabrik di Malang akan memproduksi kaos sebanyak 4.389 kualitas standard, 3.078 kualitas deluxe, 1.706 kualitas premium serta meproduksi jaket sebanyak 3.078 kualitas standard, 3.370 kualitas deluxe, dan  852,8 kualitas premium pada periode yang sama.
4. Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.
   
   Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

23. x = pensil
y = penghapus

5x + 3 y = 11.500 (x2)
4x + 2 y = 9.000 (x3)
_______________
10x + 6 y = 23.000
12x + 6y = 27.000
_______________ (-)
-2x = -4.000
x = 2.000

4x + 2y = 9.000
4*2000 + 2y = 9000
2y = 1000
y = 500

jadi harga pensil = 2000 dan penghapus = 500
sehingga dodi harus membayar 6*2000 + 5*500 = 12.000+2.500 = 14.500

24. a. Nyatakan banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya dengan matriks

Banyaknya makanan disetorkan = A

A =

b. Nyatakan harga makanan dalam bentuk matriks

Harga makanan = B

B =

c. Hitung pemasukan Bu Ani dari setiap kantin dengan cara perkalian matriks

Perkalian Matriks A dan Matriks B

AB =

AB =

Kantin A: Rp. 55.000,00

Kantin B: Rp. 93.000,00

Kantin C: Rp. 100.000,00

d. Carilah determinan matriks dari banyaknya makanan yang disetorkan setiap harinya

|A| = (10 X 15 X 10) + (10 X 8 X 15) + (5 X 20 X 20) - (5 X 15 X 15) - (10 X  20 X 8) - (10 X 8 X 20)

|A| = -100 - 800 + 875

|A| = -15

 25. Lisa dan muri bekerja pada pabrik tas. Lisa dapar menyelesaikan 3 buah setiap jam dan muri dapat menyelesaikan 4 tas setiap jam jumlah jam kerja lisa dan muri adalah 16 jam sehari dengan jumlah tas yang dibuat oleh keduanya adalah 55 tas. Jika jam kerja keduanya berbeda, lisa bekerja selama x jam dan muri bekerja selama y jam, maka model matematika penyrlrsaian masalah tersebut menggunakan matriks adalah

Pembahasan:

x + y = 16
3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks:





Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.