Soal Transportasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi dengan perhitungan matriks untuk mencari bayangannya: Titik, garis, bidang datar dan ruangan

-

Nama : Reinaldi Akmal

Kelas : XI IPS 2

Absen : 29

Transportasi Translasi, Refleksi, Rotasi, Dilatasi dengan perhitungan matriks untuk mencari bayangannya: Titik, garis, bidang datar dan ruangan

Contoh Soal

1. persamaan peta garis 3x – 4y = 12, karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh 

transformasi yang bersesuaian dengan matriks  \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) adalah… (UAN ’03)

Pembahasan 1:

Diketahui matriksnya:

Rotasi = \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right)

Transformasi = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right)

Persamaan garis direfleksi kemudian ditransformasi adalah:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -3&5\\ -1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 5&-3\\ 1&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = - \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} -1&3 \\ -1&5\end{array} \right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \begin{pmatrix} \frac{x'-3y'}{2} \\ \frac{x'-5y'}{2} \end{pmatrix}

Kemudian disubstitusikan:

3x - 4y = 12 \overset{substitusi}{\rightarrow}3 (\frac{x'- 3y'}{2}) - 4(\frac{x'-5y'}{2}) = 12

3(x' - 3y') - 4(x'- 5y') = 24

3x' - 9y' - 4x' + 20y' =24

-x' + 11y' =24

Hasilnya:

11y - x =24

 

2. Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan terhadap sumbu y adalah B dan rotasi 180o terhadap puasat O adalah H. Tentukan matriks B(A(HA)). (UMPTN ’90)

Pembahasan 2:

Diketahui:

  • Pencerminan terhadap sumbu x,A = \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)
  • Pencerminan terhadap sumbu  y,B = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right)
  • Rotasi 180o, H = \left(\begin{array}{rr} cos 180 &-sin180 \\ sin 180 & cos 180\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

Maka:

B(A(HA)) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) [ \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) ]))

= \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) )

= \left(\begin{array}{rr} -1&0 \\ 0&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

= \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right)

 

3. Oleh matriks A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right), titik P(1, 2) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P'(2, 3) dan Q'(2,0). Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)

Pembahasan 3:

Mencari nilai a dari transformasi P:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right)\overset{sehingga}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 1\\ 2\end{array}\right)\overset{menjadi}{\rightarrow}\left(\begin{array}{r} 2\\ 3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2 + 3a\\ 3 + 2a\end{array}\right)

a = 0

Sehingga matriksnya:

A = \left(\begin{array}{rr} a+2&a\\ 1&a+1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right)

Mencari titik Q:

\left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rr} 2&0\\ 1&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) \overset{sehingga}{\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x'\\ y'\end{array}\right) \overset{disubstitusi} = {\rightarrow} \left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ -1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} 2\\0\end{array}\right)

\left(\begin{array}{r} x\\ y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1\end{array}\right)

Sehingga:

Q(1, -1)


4. Hasil translasi titik P1(3, –2) oleh T1 dilanjutkan dengan T2,

    \[ T_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

menghasilkan titik P2 (8, 7). Komponen translasi dari T1 yang sesuai adalah ….

    \[ \textrm{A.} \; \; \; \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{B.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{C.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{D.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} \]

    \[ \textrm{E.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Pembahasan:

Misalkan:

    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \]

Maka,

    \[ T_{2} \bullet T_{1} = \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix} \]

Perhatikan proses translasi berikut.

Contoh soal dan pembahasan translasi

Mencari nilai a:

3 + a + 2 = 8
a + 5 = 8
a = 8 – 5 = 3

Mencari nilai b:

-2 + b + 1 = 7
b – 1 = 7
b = 7 + 1 = 8

Jadi, nilai translasi dari T1 adalah

    \[ T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Jawaban: B

 

5. Persamaan garis 3x – y – 11 = 0 karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

    \[ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

adalah ….
A. –2x – 7y –11 = 0
B. 2x + 7y – 11 = 0
C. –2x – 7y + 11 = 0
D. 2y – 7x + 11 = 0
E. 2x – 7y + 11 = 0

Pembahasan:

Pertama, cari hasil bayangan dari pencerminan terhadap garis y = x.

Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:

Contoh soal dan pembahasan refleksi

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa x’ = y dan y’ = x. Substitusikan nilai tersebut pada persamaan 3x – y – 11 = 0 sehingga diperoleh persamaan berikut.

3x – y – 11 = 0
3y’ – x’ – 11 = 0
– x’ + 3y’ – 11 = 0

Kedua, langkah selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks A,

    \[ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

Perhatikan langkah – langkahnya seperti berikut,

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix} \]

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

–3x’ + 2y’ = x’’
– x’ + y’ = y’’

Berikutnya, akan dicari persamaan yang senilai dengan x’ dan y’:

Mencari nilai x’:

Metode eliminasi variabel

Mencari nilai y’:

Metode eliminasi variabel

Subtitusi hasil x’ dan y’ di atas pada persamaan  – x’ + 3y’– 11 = 0:

    \[ -x' + 3y' - 11 = 0 \]

    \[ -\left( 2y'' - x'' \right) + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0 \]

    \[ -2y'' + x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0 \]

    \[ -2x'' + 7y'' - 11 = 0 \]

    \[ 2x'' - 7y'' + 11 = 0 \]

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

 

6. Hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah ….

A. 2x – y – 4 = 0
B. x – 2y – 4 = 0
C. x – 2y – 2 = 0
D. 2x – y + 2 = 0
E. 2x – y – 4 = 0 \]

Pembahasan:

Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

x – 2y – 2 = 0
– x’ – 2y’ – 2 = 0

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar 90o yang berpusat di O(0, 0):

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \; 90^{o} & -sin \; 90^{o} \\ sin \; 90^{o} & cos \; 90^{o} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \]

    \[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y' \\ x' \end{pmatrix} \]

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan –x’ – 2y’ – 2 = 0, akan diperoleh

– x’ – 2y’ – 2 = 0
– y’’ – 2(–x’’) – 2 = 0
– y’’ + 2x’’ – 2 = 0
2x’’ – y’’ + 2 = 0

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y – 2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan R[ O(0,0), 90o ] adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D


7. Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….
A. 15
B. 11
C. 5
D. 4
E. 2

Pembahasan:

Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

    \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]

    \[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]

    \[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3b - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]

    \[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3b - 2 \end{pmatrix} \]

Sehingga dapat diperoleh nilai a dan b:

  • a = 9
  • 3b – 2 = 10
    3b = 12
    b = 12 : 3 = 4

Jadi, nilai a – b = 9 – 4 = 5

Jawaban: C

 

 

 

Sumber :

https://www.studiobelajar.com/transformasi-geometri/

https://idschool.net/sma/rumus-pada-transformasi-geometri-translasi-refleksi-rotasi-dan-dilatasi/



















Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

-
Gambar
Nama : Reinaldi Akmal (30) Kelas : XI IPS 2 PENERAPAN TURUNAN:  KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA Kecekungan Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah . Definisi Kecekungan Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut. Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I . Jika grafik f cekung ke atas pada I , maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah). Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I . Jika grafik f c
Baca selengkapnya

Matriks, Macam-Macam Matriks, dan Operasi Matriks

-
Gambar
Assalamualaikum wr.wb, Nama : Reinaldi Akmal (29) Kelas : XI IPS 2    Pengertian Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun secara baris atau kolom atau kedua-duanya dan di dalam suatu tanda kurung. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu matriks disebut sebagai elemen-elemen matriks. Matriks digunakan untuk menyederhanakan penyampaian data, sehingga mudah untuk diolah.   Ordo Matriks Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yai
Baca selengkapnya